微积分学示例

$y^{4} = x^{9}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{4}) = \frac{d}{d x} (x^{9})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 y^{3} y'$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$9 x^{8}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$4 y^{3} y' = 9 x^{8}$

解题步骤 5

将 $4 y^{3} y' = 9 x^{8}$ 中的每一项除以 $4 y^{3}$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $4 y^{3} y' = 9 x^{8}$ 中的每一项都除以 $4 y^{3}$ 。

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

解题步骤 5.2.2

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

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