微积分学示例

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x - 12}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = x^{2} + 4 x - 12$ 。

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $x^{2} + 4 x - 12$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{2} + 4 x - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.10

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + 0)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x - - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x + 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 2) (2 x + 4)$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x + 4) + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.3

将 $- 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 4 x - 12 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $- 12$ 和 $8$ 相加。

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.3

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.4.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $4$ 。

$- 2, 6$

解题步骤 3.4.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 2) (x + 6))}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

对 $(x - 2) (x + 6)$ 运用乘积法则。

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.5.5

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.5.6

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.6

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

重写表达式。

$\frac{- 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{{(x + 6)}^{2}}$

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