微积分学示例

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.5.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.5

从 $- e^{x} x + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.5.1

从 $- e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.5.2

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.5.3

从 $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $e^{x} (- x + 2)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

解题步骤 4.6.2.4

用 $e^{- x} (- x + 2)$ 除以 $1$ 。

$e^{- x} (- x + 2)$

解题步骤 4.7

运用分配律。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

解题步骤 4.8

使用乘法的交换性质重写。

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

解题步骤 4.9

将 $2$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

解题步骤 4.10

将 $- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$

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