微积分学示例

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $x^{2} + y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$y \frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 9

组合 $y$ 和 $\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{y (- x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{y (- x^{2}) + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- y x^{2} + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- y x^{2} + y^{1} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- y x^{2} + y^{1 + 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- y x^{2} + y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{y^{3} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4

化简分子。

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解题步骤 10.4.1

从 $y^{3} - x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 10.4.1.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot y^{2} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4.1.2

从 $- x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4.1.3

从 $y \cdot y^{2} + y (- x^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = x$ 。

$\frac{y (y + x) (y - x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

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