微积分学示例

$2 - | 2 x - 1 |$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 - | 2 x - 1 |$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- | 2 x - 1 |]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- | 2 x - 1 |]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- | 2 x - 1 |]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- | 2 x - 1 |]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- | 2 x - 1 |$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [| 2 x - 1 |]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [| 2 x - 1 |]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 1$ 。

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

解题步骤 2.2.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - (\frac{2 x - 1}{| 2 x - 1 |} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$0 - (\frac{2 x - 1}{| 2 x - 1 |} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - (\frac{2 x - 1}{| 2 x - 1 |} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - (\frac{2 x - 1}{| 2 x - 1 |} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - (\frac{2 x - 1}{| 2 x - 1 |} (2 \cdot 1 + 0))$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 - (\frac{2 x - 1}{| 2 x - 1 |} (2 + 0))$

解题步骤 2.8

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$0 - (\frac{2 x - 1}{| 2 x - 1 |} \cdot 2)$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{2 x - 1}{| 2 x - 1 |}$ 和 $2$ 。

$0 - \frac{(2 x - 1) \cdot 2}{| 2 x - 1 |}$

解题步骤 2.10

将 $2$ 移到 $2 x - 1$ 的左侧。

$0 - \frac{2 (2 x - 1)}{| 2 x - 1 |}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$0 - \frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{| 2 x - 1 |}$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 - \frac{4 x + 2 \cdot - 1}{| 2 x - 1 |}$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - \frac{4 x - 2}{| 2 x - 1 |}$

解题步骤 3.2.3

从 $0$ 中减去 $\frac{4 x - 2}{| 2 x - 1 |}$ 。

$- \frac{4 x - 2}{| 2 x - 1 |}$

解题步骤 3.3

从 $4 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (2 x) - 2}{| 2 x - 1 |}$

解题步骤 3.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{| 2 x - 1 |}$

解题步骤 3.3.3

从 $2 (2 x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (2 x - 1)}{| 2 x - 1 |}$

微积分学 示例

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