微积分学示例

$3 x - 5 \cos^{2} (π x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 x - 5 \cos^{2} (π x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \cos^{2} (π x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$ 。

$3 - 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (π x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (π x)$ 。

$3 - 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 - 5 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\cos (π x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 - 5 (2 \cos (π x) \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $π x$ 。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]))$

解题步骤 3.3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]))$

解题步骤 3.3.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]))$

解题步骤 3.4

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])))$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \cdot 1)))$

解题步骤 3.6

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) π))$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 - 5 (- 2 \cos (π x) (\sin (π x) π))$

解题步骤 3.8

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$3 + 10 \cos (π x) \sin (π x) π$

解题步骤 4

重新排序项。

$10 π \cos (π x) \sin (π x) + 3$

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