微积分学示例

$3 x \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x \sin (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x \sin (x) \cos (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x \sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$3 (x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 (x \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

解题步骤 4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (x (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

解题步骤 5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (x (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (x (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

解题步骤 8

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 10

使用幂法则求微分。

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解题步骤 10.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1))$

解题步骤 10.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x))$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$3 (x (- \sin^{2} (x))) + 3 (\cos (x) (x \cos (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 11.3

合并项。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (x (\sin^{2} (x))) + 3 (\cos (x) (x \cos (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 11.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 (x (\cos^{1} (x) \cos (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 11.3.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 (x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 (x {\cos (x)}^{1 + 1}) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 11.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$

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