微积分学示例

$3 \ln (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (\frac{1}{x})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{x}$ 。

$3 (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$3 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 x (- x^{- 2})$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 x \cdot x^{- 2}$

解题步骤 7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 7.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$- 3 (x^{- 2} x)$

解题步骤 7.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 (x^{- 2} x^{1})$

解题步骤 7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 x^{- 2 + 1}$

解题步骤 7.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- 3 x^{- 1}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{x}$

解题步骤 8.2

合并项。

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解题步骤 8.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{- 3}{x}$

解题步骤 8.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x}$

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