微积分学示例

$3 x^{2} \ln (2 x)$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} \ln (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (2 x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (2 x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (2 x)$ 。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$3 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x^{2} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2 x}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$3 (\frac{x \cdot x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (\frac{x}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4

化简项。

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解题步骤 4.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$3 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

约去公因数。

$3 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 (x + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x + \ln (2 x) (2 x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$3 x + 3 (\ln (2 x) (2 x))$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x + 6 \ln (2 x) x$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$6 x \ln (2 x) + 3 x$

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