微积分学示例

$2 x e^{- k x}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{- k x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- k x}$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - k x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- k x$ 。

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $- k x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x (e^{- k x} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- k$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- k x$ 对 $x$ 的导数是 $- k \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x (e^{- k x} (- k \frac{d}{d x} [x])) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (e^{- k x} (- k \cdot 1)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \cdot 1)$

解题步骤 4.5

将 $e^{- k x}$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$2 (x (e^{- k x} (- k))) + 2 e^{- k x}$

解题步骤 5.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x (e^{- k x} (k)) + 2 e^{- k x}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$- 2 e^{- k x} k x + 2 e^{- k x}$

解题步骤 5.4

将 $- 2 e^{- k x} k x + 2 e^{- k x}$ 中的因式重新排序。

$- 2 k x e^{- k x} + 2 e^{- k x}$

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