微积分学示例

$2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x y]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x y$ 对 $x$ 的导数是 $3 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 4

因为 $4 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x + 3 y + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x + 3 y + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 3 y + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

解题步骤 6

因为 $10 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x + 3 y + 0 - 2 + 0$

解题步骤 7

合并项。

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解题步骤 7.1

将 $4 x + 3 y$ 和 $0$ 相加。

$4 x + 3 y - 2 + 0$

解题步骤 7.2

将 $4 x + 3 y - 2$ 和 $0$ 相加。

$4 x + 3 y - 2$

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