微积分学示例

$\frac{x}{1 + x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + x$ 。

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $1 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.7

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.7.3

化简表达式。

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解题步骤 2.7.3.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.7.3.2

重新排序项。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

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