微积分学示例

$x^{\frac{2}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{\frac{2}{x}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{2}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2}{x} \ln (x)}]$

解题步骤 2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

解题步骤 3.3

使用 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

解题步骤 4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ 。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}])$

解题步骤 5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

解题步骤 6

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

解题步骤 7

使用幂法则求微分。

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解题步骤 7.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}})$

解题步骤 7.4

合并分数。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

解题步骤 7.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 。

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

解题步骤 7.4.3

组合 $e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}$ 和 $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (1 - \ln (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \cdot 2 + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $2$ 移到 $e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + 2 \cdot - 1 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.6

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.7

乘以 $- 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)$ 。

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解题步骤 8.3.1.7.1

将 $\ln (x)$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 \cdot \ln (x) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.7.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \cdot \ln (x)$ 。

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.2

将 $2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2})}{x^{2}}$

解题步骤 8.4

重新排序项。

$\frac{- e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2}) + 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

微积分学 示例

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