微积分学示例

$x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 4)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.5

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{\frac{4}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4

将 $2$ 移到 $x^{\frac{4}{3}}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$2 x^{\frac{4}{3}} + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2

合并项。

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解题步骤 13.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 13.2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.3.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.3.5

化简分子。

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解题步骤 13.2.3.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.3.5.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.5

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.6

要将 $2 x^{\frac{4}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.7

组合 $2 x^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.9

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.2.10

将 $6 x^{\frac{4}{3}}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 相加。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

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