微积分学示例

$\sqrt[3]{x} (x + 5)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x + 5)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.4.2

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2

合并项。

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解题步骤 11.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 11.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.3.3

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.4

组合 $5$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.5

要将 $x^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.6

组合 $x^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.8

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.9

将 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

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