微积分学示例

$\sqrt{1 - x^{2}} \arcsin (x)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \arcsin (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \arcsin (x)$ 。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

$\arcsin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

组合 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 5.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 10.4

组合 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\arcsin (x)$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 11

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 13

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

解题步骤 16

化简项。

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解题步骤 16.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

解题步骤 16.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 16.3

组合 $\frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x) x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.4

从 $- 2 \arcsin (x) x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17

约去公因数。

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解题步骤 17.1

从 $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 17.2

约去公因数。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.3

重写表达式。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- \arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19

要将 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20

要将 $- \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 21

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 21.1

将 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 乘以 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 21.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 21.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 21.4

在公分母上合并分子。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 21.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 21.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.6.1

约去公因数。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 21.6.2

重写表达式。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 21.7

将 $\frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 21.8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 21.10

在公分母上合并分子。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

解题步骤 21.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 21.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.12.1

约去公因数。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 21.12.2

重写表达式。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

解题步骤 22

在公分母上合并分子。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

解题步骤 23

通过指数相加将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 23.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

解题步骤 23.2

在公分母上合并分子。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

解题步骤 23.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

解题步骤 23.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{1} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

解题步骤 24

化简 ${(1 - x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

解题步骤 25

化简。

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

解题步骤 26

化简。

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解题步骤 26.1

化简分子。

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解题步骤 26.1.1

化简每一项。

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解题步骤 26.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1^{2} - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

解题步骤 26.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

解题步骤 26.1.2

将 $1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{1 - x^{2} - x \arcsin (x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

解题步骤 26.2

重新排序项。

$\frac{- x^{2} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \arcsin (x) + 1}{- x^{2} + 1}$

微积分学 示例

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