微积分学示例

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 重写成 ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + 4 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $1 + 4 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

解题步骤 8

根据加法法则， $1 + 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 11

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 12.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 13

约去公因数。

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解题步骤 13.1

从 $2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 15

合并分数。

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解题步骤 15.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 15.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.4

重新排序项。

$\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

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