微积分学示例

$\sqrt{\arctan (x)}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\arctan (x)}$ 重写成 ${\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \arctan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\arctan (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

解题步骤 8

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{1}{2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4

从 $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.4.1

从 $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.2

从 $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)}$

解题步骤 10.4.3

从 $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)$ 中分解出因数 $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

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