微积分学示例

$\sqrt{\sin (3 x)}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\sin (3 x)}$ 重写成 ${\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \sin (3 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (3 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 8.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 8.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 9

求微分。

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解题步骤 9.1

组合 $\cos (3 x)$ 和 $\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 9.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9.3

组合 $3$ 和 $\frac{\cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 9.5

将 $\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

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