微积分学示例

$e^{3 \ln (x)}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $3 \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$

解题步骤 2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$e^{3 \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{3 \ln (x)} (3 \frac{1}{x})$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{3 \ln (x)} \frac{3}{x}$

解题步骤 4.2

组合 $e^{3 \ln (x)}$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$\frac{e^{3 \ln (x)} \cdot 3}{x}$

解题步骤 4.3

将 $3$ 移到 $e^{3 \ln (x)}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot e^{3 \ln (x)}}{x}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x)$ 。

$\frac{3 e^{\ln (x^{3})}}{x}$

解题步骤 5.1.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{3 x^{3}}{x}$

解题步骤 5.2

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{2})}{x}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

解题步骤 5.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2.4

重写表达式。

$\frac{3 x^{2}}{1}$

解题步骤 5.2.2.5

用 $3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2}$

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