微积分学示例

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 1 + \cos (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

乘。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + 1 \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.6

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.8

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.8.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.8.2

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.8.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.9

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.10

乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ 。

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解题步骤 6.2.1.10.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.10.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.10.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.5

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.6

分离分数。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.8

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \sin (x) \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

乘以 $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.4

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.6

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5.2

分离分数。

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5.4

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5.6

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

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