微积分学示例

$\sin^{2} (π x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (π x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (π x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (π x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $π x$ 。

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 2.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

解题步骤 3.3

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ 的因式。

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

解题步骤 4.2

添加圆括号。

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

解题步骤 4.3

将 $2 π$ 和 $\cos (π x) \sin (π x)$ 重新排序。

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

解题步骤 4.4

添加圆括号。

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

解题步骤 4.5

将 $\cos (π x)$ 和 $\sin (π x) \cdot 2$ 重新排序。

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

解题步骤 4.6

将 $\sin (π x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

解题步骤 4.7

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 (π x)) π$

解题步骤 4.8

将 $\sin (2 π x) π$ 中的因式重新排序。

$π \sin (2 π x)$

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