微积分学示例

$\cot^{2} (\cos (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cot (\cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cot (\cos (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\cot (\cos (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \cot (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$2 \cot (\cos (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.2

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{2})$ 。

$2 \cot (\cos (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \cot (\cos (x)) (- \csc^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \cot (\cos (x)) (\csc^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x)$ 的因式。

$2 \csc^{2} (\cos (x)) \cot (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 6.2

将 $\csc (\cos (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (x))})}^{2} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 6.3

对 $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 6.4

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 6.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (x))}$ 。

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 6.6

将 $\cot (\cos (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))} \sin (x)$

解题步骤 6.7

合并。

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{2} (\cos (x)) \sin (\cos (x))} \sin (x)$

解题步骤 6.8

通过指数相加将 $\sin^{2} (\cos (x))$ 乘以 $\sin (\cos (x))$ 。

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解题步骤 6.8.1

将 $\sin^{2} (\cos (x))$ 乘以 $\sin (\cos (x))$ 。

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解题步骤 6.8.1.1

对 $\sin (\cos (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{2} (\cos (x)) \sin^{1} (\cos (x))} \sin (x)$

解题步骤 6.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{{\sin (\cos (x))}^{2 + 1}} \sin (x)$

解题步骤 6.8.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{3} (\cos (x))} \sin (x)$

解题步骤 6.9

组合 $\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{3} (\cos (x))}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 \cos (\cos (x)) \sin (x)}{\sin^{3} (\cos (x))}$

解题步骤 6.10

从 $\sin^{3} (\cos (x))$ 中分解出因数 $\sin (\cos (x))$ 。

$\frac{2 \cos (\cos (x)) \sin (x)}{\sin (\cos (x)) \sin^{2} (\cos (x))}$

解题步骤 6.11

分离分数。

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))}$

解题步骤 6.12

将 $\frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))}$ 转换成 $\cot (\cos (x))$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.13

从 $\sin^{2} (\cos (x))$ 中分解出因数 $\sin (\cos (x))$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{\sin (\cos (x)) \sin (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.14

分离分数。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.15

将 $\frac{\sin (x)}{\sin (\cos (x))}$ 重写为乘积形式。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.16

将 $\sin (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.17

化简。

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解题步骤 6.17.1

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.17.2

将 $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ 转换成 $\csc (\cos (x))$ 。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.18

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.19

将 $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ 转换成 $\csc (\cos (x))$ 。

$\frac{2}{1} \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.20

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.21

乘以 $2 \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x)))$ 。

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解题步骤 6.21.1

对 $\csc (\cos (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\csc^{1} (\cos (x)) \csc (\cos (x))) \sin (x) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.21.2

对 $\csc (\cos (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\csc^{1} (\cos (x)) \csc^{1} (\cos (x))) \sin (x) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.21.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\csc (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x) \cot (\cos (x))$

解题步骤 6.21.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x) \cot (\cos (x))$

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