微积分学示例

$\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1

因为 $54$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$ 。

$54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(25 - x^{2})}^{2}$ 。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 3.3

将 ${(25 - x^{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 25 - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $25 - x^{2}$ 。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 4.3

使用 $25 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 (25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 5.2

从 ${(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ 中分解出因数 $25 - x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 ${(25 - x^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $25 - x^{2}$ 。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 5.2.2

从 $- 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ 中分解出因数 $25 - x^{2}$ 。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 5.2.3

从 $(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))$ 中分解出因数 $25 - x^{2}$ 。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 ${(25 - x^{2})}^{4}$ 中分解出因数 $25 - x^{2}$ 。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 7

根据加法法则， $25 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 8

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 11

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 13

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x \cdot x}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x^{1})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{1 + 1}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 18

将 $- x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$54 \frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 19

组合 $54$ 和 $\frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ 。

$\frac{54 (25 + 3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

运用分配律。

$\frac{54 \cdot 25 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 20.2

化简每一项。

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解题步骤 20.2.1

将 $54$ 乘以 $25$ 。

$\frac{1350 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 20.2.2

将 $3$ 乘以 $54$ 。

$\frac{1350 + 162 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 20.3

重新排序项。

$\frac{162 x^{2} + 1350}{{(- x^{2} + 25)}^{3}}$

微积分学 示例

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