微积分学示例

$5^{- \frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 5^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $5$ 。

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $- \frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.3

乘。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.3.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + 0)$

解题步骤 3.5.2

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$ 的因式。

$5^{- \frac{1}{x}} x^{- 2} \ln (5)$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$5^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} \ln (5)$

解题步骤 4.3

组合 $5^{- \frac{1}{x}}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} \ln (5)$

解题步骤 4.4

组合 $\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 和 $\ln (5)$ 。

$\frac{5^{- \frac{1}{x}} \ln (5)}{x^{2}}$

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