微积分学示例

$\frac{4 x + 2}{4 x - 2}$

解题步骤 1

约去 $4 x + 2$ 和 $4 x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x) + 2}{4 x - 2}]$

解题步骤 1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x) + 2 (1)}{4 x - 2}]$

解题步骤 1.3

从 $2 (2 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{4 x - 2}]$

解题步骤 1.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{2 (2 x) - 2}]$

解题步骤 1.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{2 (2 x) + 2 (- 1)}]$

解题步骤 1.4.3

从 $2 (2 x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{2 (2 x - 1)}]$

解题步骤 1.4.4

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{2 (2 x - 1)}]$

解题步骤 1.4.5

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x + 1}{2 x - 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 1$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x - 1) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 移到 $2 x - 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.12

化简表达式。

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解题步骤 3.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) - 2 (2 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

合并 $2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $2 (2 x)$ 中减去 $2 (2 x)$ 。

$\frac{2 \cdot - 1 + 0 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $2 \cdot - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \cdot - 1 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

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