微积分学示例

$\frac{x^{2} + 3 y^{2}}{e^{x^{2} + y^{2}}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 3 y^{2}$ 且 $g (x) = e^{x^{2} + y^{2}}$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{{(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{(x^{2} + y^{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

运用分配律。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{x^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + y^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2}}}$

解题步骤 2.1.5

将 $2$ 乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} + 3 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 2.4

因为 $3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 2.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 4.3

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - 2 (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 6 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3

运用分配律。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x) - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.2.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x \cdot x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x^{1} x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{1 + 2} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.2.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.2.2

将 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x e^{x^{2} + y^{2}} - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} x e^{x^{2} + y^{2}}}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.4

从 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ 中分解出因数 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 中分解出因数 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.4.2

从 $- 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3}$ 中分解出因数 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.4.3

从 $- 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ 中分解出因数 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.4.4

从 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2})$ 中分解出因数 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.4.5

从 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})$ 中分解出因数 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.5

约去 $e^{x^{2} + y^{2}}$ 和 $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ 中分解出因数 $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ 。

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{1}$

解题步骤 5.5.2.4

用 $2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ 除以 $1$ 。

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

运用分配律。

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2}) - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

解题步骤 5.6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

解题步骤 5.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$2 e^{- x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

解题步骤 5.8

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

解题步骤 5.9

运用分配律。

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x \cdot 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

解题步骤 5.10

化简。

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解题步骤 5.10.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

解题步骤 5.10.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.10.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

解题步骤 5.10.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.10.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x^{1}) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

解题步骤 5.10.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{2 + 1} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

解题步骤 5.10.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

解题步骤 5.10.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

解题步骤 5.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

解题步骤 5.12

将 $2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$ 中的因式重新排序。

$2 x e^{- x^{2} - y^{2}} - 2 x^{3} e^{- x^{2} - y^{2}} - 6 x y^{2} e^{- x^{2} - y^{2}}$

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