微积分学示例

$\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2}{\sqrt{x} + 2}]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2}{x^{\frac{1}{2}} + 2}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2] - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 9

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 11

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 14

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 15

在公分母上合并分子。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 16

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 16.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 17

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 17.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 18

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 19

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.1

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.2

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.3

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.4.1

合并 $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.4.1.1

从 $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中减去 $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.2

将 $2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.4.2.2.1

从 $- - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.2.2.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.2.4

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 + 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.5.1

将 $\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

解题步骤 20.5.2

将 $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例