微积分学示例

$\frac{e^{2 x}}{x^{6}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{6})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{6} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{6} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{6} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{6} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{6} (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{x^{6} (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{x^{6} (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (6 x^{5})}{x^{12}}$

解题步骤 4.5

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{6} (2 e^{2 x}) - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{6} e^{2 x} - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

解题步骤 5.1.2

将 $2 x^{6} e^{2 x} - 6 e^{2 x} x^{5}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x^{6} e^{2 x} - 6 x^{5} e^{2 x}}{x^{12}}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{2 e^{2 x} x^{6} - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

解题步骤 5.3

从 $2 e^{2 x} x^{6} - 6 e^{2 x} x^{5}$ 中分解出因数 $2 e^{2 x} x^{5}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $2 e^{2 x} x^{6}$ 中分解出因数 $2 e^{2 x} x^{5}$ 。

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x) - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 6 e^{2 x} x^{5}$ 中分解出因数 $2 e^{2 x} x^{5}$ 。

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x) + 2 e^{2 x} x^{5} (- 3)}{x^{12}}$

解题步骤 5.3.3

从 $2 e^{2 x} x^{5} (x) + 2 e^{2 x} x^{5} (- 3)$ 中分解出因数 $2 e^{2 x} x^{5}$ 。

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x - 3)}{x^{12}}$

解题步骤 5.4

约去 $x^{5}$ 和 $x^{12}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $2 e^{2 x} x^{5} (x - 3)$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{12}}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $x^{12}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{5} x^{7}}$

解题步骤 5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{5} x^{7}}$

解题步骤 5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 e^{2 x} (x - 3)}{x^{7}}$

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