微积分学示例

$\frac{e^{x}}{7 x^{2}}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{e^{x}}{7 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$ 。

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 5.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{7 x^{4}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{7 x^{4}}$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x}{7 x^{4}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

从 $e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

从 $e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{x} x) - 2 e^{x} x}{7 x^{4}}$

解题步骤 6.3.1.2

从 $- 2 e^{x} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})}{7 x^{4}}$

解题步骤 6.3.1.3

从 $x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{x} x - 2 e^{x})}{7 x^{4}}$

解题步骤 6.3.2

从 $e^{x} x - 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{x (e^{x} (x) - 2 e^{x})}{7 x^{4}}$

解题步骤 6.3.2.2

从 $- 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{x (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2)}{7 x^{4}}$

解题步骤 6.3.2.3

从 $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{7 x^{4}}$

$\frac{x e^{x} (x - 2)}{7 x^{4}}$

解题步骤 6.4

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $x e^{x} (x - 2)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{7 x^{4}}$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

从 $7 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (7 x^{3})}$

解题步骤 6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (7 x^{3})}$

解题步骤 6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{x} (x - 2)}{7 x^{3}}$

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