微积分学示例

$\frac{1 - 2 x}{3 + x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - 2 x$ 且 $g (x) = 3 + x$ 。

$\frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{(3 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$\frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 + x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 + x) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 + x) \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $- 2$ 移到 $3 + x$ 的左侧。

$\frac{- 2 \cdot (3 + x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $3 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2 x - (1 - 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 6 - 2 x - 1 - (- 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 - 2 x - 1 + 2 x}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

合并 $- 6 - 2 x - 1 + 2 x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{- 6 + 0 - 1}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 6 - 1}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $- 6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 7}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7}{{(3 + x)}^{2}}$

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