微积分学示例

$\frac{1}{2 \sin (2 x)}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 \sin (2 x)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (2 x)}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (2 x)}]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\csc (2 x)$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2

$\csc (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc (u) \cot (u)$ 。

$\frac{1}{2} (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\csc (2 x)$ 。

$- \frac{\csc (2 x)}{2} \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.2

组合 $\cot (2 x)$ 和 $\frac{\csc (2 x)}{2}$ 。

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

化简项。

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解题步骤 4.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2}$ 。

$\frac{- 2 (\cot (2 x) \csc (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.3.1

从 $- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \cot (2 x) \csc (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \cot (2 x) \csc (2 x))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \cot (2 x) \csc (2 x))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- \cot (2 x) \csc (2 x)}{1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.3.2.4

用 $- \cot (2 x) \csc (2 x)$ 除以 $1$ 。

$- \cot (2 x) \csc (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \cot (2 x) \csc (2 x) \cdot 1$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \cot (2 x) \csc (2 x)$

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