微积分学示例

$\frac{1}{x^{3} + 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x^{3} + 1}$ 重写为 ${(x^{3} + 1)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3} + 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{3} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x^{3} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- {(x^{3} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- {(x^{3} + 1)}^{- 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x^{3} + 1)}^{- 2} (3 x^{2} + 0)$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- {(x^{3} + 1)}^{- 2} (3 x^{2})$

解题步骤 3.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 {(x^{3} + 1)}^{- 2} x^{2}$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{{(x^{3} + 1)}^{2}} x^{2}$

解题步骤 5

合并项。

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解题步骤 5.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{{(x^{3} + 1)}^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{{(x^{3} + 1)}^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{x^{2} \cdot 3}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{3 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

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