微积分学示例

$\frac{1}{1 + e^{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{1 + e^{x}}$ 重写为 ${(1 + e^{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{x})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 2.3

使用 $1 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} e^{x}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(1 + e^{x})}^{2}} e^{x}$

解题步骤 5.2

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ 。

$- \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

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