微积分学示例

$\frac{1}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{e^{x^{2}}}$ 重写为 ${(e^{x^{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(e^{x^{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

将 ${(e^{x^{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [e^{- 1 \cdot x^{2}}]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

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