微积分学示例

$| x | \cdot 60 + | x - 10 | \cdot 50 + | 30 - 2 x | \cdot 60$

解题步骤 1

根据加法法则， $| x | \cdot 60 + | x - 10 | \cdot 50 + | 30 - 2 x | \cdot 60$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [| x | \cdot 60] + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$ 。

$\frac{d}{d x} [| x | \cdot 60] + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [| x | \cdot 60]$ 。

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解题步骤 2.1

将 $60$ 移到 $| x |$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [60 \cdot | x |] + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 2.2

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 | x |$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [| x |]$ 。

$60 \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 2.3

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$60 \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 2.4

组合 $60$ 和 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50]$ 。

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解题步骤 3.1

将 $50$ 移到 $| x - 10 |$ 的左侧。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{d}{d x} [50 \cdot | x - 10 |] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.2

因为 $50$ 对于 $x$ 是常数，所以 $50 | x - 10 |$ 对 $x$ 的导数是 $50 \frac{d}{d x} [| x - 10 |]$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + 50 \frac{d}{d x} [| x - 10 |] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x - 10$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 10$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{d}{d u_{1}} [| u_{1} |] \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.3.2

$| u_{1} |$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{u_{1}}{| u_{1} |}$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{u_{1}}{| u_{1} |} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.3.3

使用 $x - 10$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 10])) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.6

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.8

将 $\frac{x - 10}{| x - 10 |}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + 50 \frac{x - 10}{| x - 10 |} + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 3.9

组合 $50$ 和 $\frac{x - 10}{| x - 10 |}$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$ 。

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解题步骤 4.1

将 $60$ 移到 $| 30 - 2 x |$ 的左侧。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + \frac{d}{d x} [60 \cdot | 30 - 2 x |]$

解题步骤 4.2

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 | 30 - 2 x |$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x |]$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x |]$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = 30 - 2 x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $30 - 2 x$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

解题步骤 4.3.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

解题步骤 4.3.3

使用 $30 - 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

解题步骤 4.4

根据加法法则， $30 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

解题步骤 4.5

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

解题步骤 4.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (0 - 2 \cdot 1))$

解题步骤 4.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (0 - 2))$

解题步骤 4.9

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} \cdot - 2)$

解题步骤 4.10

组合 $\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 \frac{(30 - 2 x) \cdot - 2}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 4.11

将 $- 2$ 移到 $30 - 2 x$ 的左侧。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 \frac{- 2 \cdot (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 4.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (- \frac{2 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |})$

解题步骤 4.13

将 $- 1$ 乘以 $60$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} - 60 \frac{2 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 4.14

组合 $- 60$ 和 $\frac{2 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + \frac{- 60 (2 (30 - 2 x))}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 4.15

将 $2$ 乘以 $- 60$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + \frac{- 120 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 4.16

将负号移到分数的前面。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} - \frac{120 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x + 50 \cdot - 10}{| x - 10 |} - \frac{120 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x + 50 \cdot - 10}{| x - 10 |} - \frac{120 \cdot 30 + 120 (- 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

将 $50$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x - 500}{| x - 10 |} - \frac{120 \cdot 30 + 120 (- 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 5.3.2

将 $120$ 乘以 $30$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x - 500}{| x - 10 |} - \frac{3600 + 120 (- 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 2$ 乘以 $120$ 。

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x - 500}{| x - 10 |} - \frac{3600 - 240 x}{| 30 - 2 x |}$

微积分学 示例

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