微积分学示例

$\frac{1 - x e^{x}}{x + e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - x e^{x}$ 且 $g (x) = x + e^{x}$ 。

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ 相加。

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [- x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5.3

根据加法法则， $x + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + e^{x}) (- x e^{x} - e^{x})$ 。

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解题步骤 7.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (- x e^{x} - e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x (x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- (x \cdot x) e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.5.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.7

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.7.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - (e^{x} e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x + x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2.7.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.3.2

乘以 $- (- x e^{x})$ 。

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解题步骤 7.3.1.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + 1 (x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.3.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})$ 。

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解题步骤 7.3.1.4.1

运用分配律。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 (1 + e^{x}) + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.4.2

运用分配律。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.4.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5.2

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5.4

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.3.1.5.4.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x (e^{x} e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x + x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5.4.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2

合并 $- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $- x e^{x}$ 和 $x e^{x}$ 相加。

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $- x^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.3

按照 $- e^{2 x} x$ 和 $x e^{2 x}$ 重新排列因数。

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + e^{2 x} x}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.4

将 $- e^{2 x} x$ 和 $e^{2 x} x$ 相加。

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.5

将 $- x^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$\frac{- e^{x} x^{2} - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5

从 $- e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 (1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.7

从 $- (e^{x} x^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.8

从 $- e^{2 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.9

从 $- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.10

从 $- e^{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.11

从 $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.12

将 $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ 重写为 $- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ 。

$\frac{- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.14

将 $- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x^{2} e^{x} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

微积分学 示例

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