微积分学示例

$\frac{x^{2} - 8}{x - 3}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 8$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8] - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $x - 3$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 6$ 。

$- 4, - 2$

解题步骤 3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

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