微积分学示例

$\frac{x^{3} - 6}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3} - 6$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{3} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

将 $3$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 6) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 6) x}{x^{4}}$

解题步骤 6.2

从 $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 6) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 6) x}{x^{4}}$

解题步骤 6.2.2

从 $- 2 (x^{3} - 6) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 6))}{x^{4}}$

解题步骤 6.2.3

从 $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 6))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x^{4}}$

解题步骤 7

约去公因数。

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解题步骤 7.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6)}{x^{3}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 6}{x^{3}}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} + 12}{x^{3}}$

解题步骤 8.2.2

从 $3 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} + 12}{x^{3}}$

微积分学 示例

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