微积分学示例

$2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 7}$ 且 $g (t) = t^{2} + 11 t$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{2} + 11 t$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 7$ 。

$2 (- 7 u^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

解题步骤 2.3

使用 $t^{2} + 11 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- 7 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$- 14 ({(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $t^{2} + 11 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t]$ 。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + \frac{d}{d t} [11 t])$

解题步骤 3.4

因为 $11$ 对于 $t$ 是常数，所以 $11 t$ 对 $t$ 的导数是 $11 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \cdot 1)$

解题步骤 3.6

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 14 \frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 14$ 和 $\frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$ 。

$\frac{- 14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

解题步骤 4.3

重新排序 $- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$ 的因式。

$- (2 t + 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$(- (2 t) - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 t - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

解题步骤 4.7

化简分母。

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解题步骤 4.7.1

从 $t^{2} + 11 t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 4.7.1.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + 11 t)}^{8}}$

解题步骤 4.7.1.2

从 $11 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + t \cdot 11)}^{8}}$

解题步骤 4.7.1.3

从 $t \cdot t + t \cdot 11$ 中分解出因数 $t$ 。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t (t + 11))}^{8}}$

解题步骤 4.7.2

对 $t (t + 11)$ 运用乘积法则。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

解题步骤 4.8

将 $- 2 t - 11$ 乘以 $\frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$ 。

$\frac{(- 2 t - 11) \cdot 14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

解题步骤 4.9

将 $14$ 移到 $- 2 t - 11$ 的左侧。

$\frac{14 \cdot (- 2 t - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

解题步骤 4.10

从 $- 2 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{14 (- (2 t) - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

解题步骤 4.11

将 $- 11$ 重写为 $- 1 (11)$ 。

$\frac{14 (- (2 t) - 1 (11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

解题步骤 4.12

从 $- (2 t) - 1 (11)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{14 (- (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

解题步骤 4.13

将 $- (2 t + 11)$ 重写为 $- 1 (2 t + 11)$ 。

$\frac{14 (- 1 (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

解题步骤 4.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{14 (2 t + 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

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