微积分学示例

$g (t) = \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$ 重写为 ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d t} [{({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

将 ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{- 3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 3}$ 且 $g (t) = t^{4} + 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{4} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

解题步骤 2.3

使用 $t^{4} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $t^{4} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + 0)$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $4 t^{3}$ 和 $0$ 相加。

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3})$

解题步骤 3.4.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- 12 {(t^{4} + 1)}^{- 4} t^{3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 12 \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 12$ 和 $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ 。

$\frac{- 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

解题步骤 4.2.3

组合 $t^{3}$ 和 $\frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ 。

$- \frac{t^{3} \cdot 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 4.2.4

将 $12$ 移到 $t^{3}$ 的左侧。

$- \frac{12 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$

微积分学 示例

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