微积分学示例

$g (t) = t^{2} - \frac{4}{t^{3}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $t^{2} - \frac{4}{t^{3}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{3}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{3}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{4}{t^{3}}$ 对 $t$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ 。

$2 t - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{t^{3}}$ 重写为 ${(t^{3})}^{- 1}$ 。

$2 t - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = t^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{3}$ 。

$2 t - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 t - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}])$

解题步骤 2.3.3

使用 $t^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 t - 4 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 t - 4 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2}))$

解题步骤 2.5

将 ${(t^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 t - 4 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2}))$

解题步骤 2.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$2 t - 4 (- t^{- 6} (3 t^{2}))$

解题步骤 2.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 t - 4 (- 3 t^{- 6} t^{2})$

解题步骤 2.7

通过指数相加将 $t^{- 6}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1

移动 $t^{2}$ 。

$2 t - 4 (- 3 (t^{2} t^{- 6}))$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 t - 4 (- 3 t^{2 - 6})$

解题步骤 2.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$2 t - 4 (- 3 t^{- 4})$

解题步骤 2.8

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$2 t + 12 t^{- 4}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 t + 12 \frac{1}{t^{4}}$

解题步骤 3.2

组合 $12$ 和 $\frac{1}{t^{4}}$ 。

$2 t + \frac{12}{t^{4}}$

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