微积分学示例

$\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ 。

$\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $\frac{5}{9}$ 对于 $w$ 是常数，所以 $\frac{5}{9 w^{4}}$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}]$ 。

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{w^{4}}$ 重写为 ${(w^{4})}^{- 1}$ 。

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [{(w^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 等于 $f' (g (w)) g' (w)$ ，其中 $f (w) = w^{- 1}$ 且 $g (w) = w^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $w^{4}$ 。

$\frac{5}{9} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{5}{9} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.3.3

使用 $w^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.5

将 ${(w^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{9} (- w^{4 \cdot - 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{5}{9} (- w^{- 8} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 8} w^{3}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.7

通过指数相加将 $w^{- 8}$ 乘以 $w^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

移动 $w^{3}$ 。

$\frac{5}{9} (- 4 (w^{3} w^{- 8})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{9} (- 4 w^{3 - 8}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 5}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{5}{9}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 5}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.9

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 20}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.10

组合 $\frac{- 20}{9}$ 和 $w^{- 5}$ 。

$\frac{- 20 w^{- 5}}{9} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $w^{- 5}$ 移动到分母。

$\frac{- 20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 2.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{w}$ 重写成 $w^{\frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 w^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2

因为 $5$ 对于 $w$ 是常数，所以 $5 w^{\frac{1}{3}}$ 对 $w$ 的导数是 $5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$ 。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $w^{- \frac{2}{3}}$ 。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 3.10

组合 $5$ 和 $\frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5 w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $w^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5}{3 w^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

微积分学示例