微积分学示例

$y = e^{- u} \cos (u)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ 等于 $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ ，其中 $f (u) = e^{- u}$ 且 $g (u) = \cos (u)$ 。

$e^{- u} \frac{d}{d u} [\cos (u)] + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

解题步骤 2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ 等于 $f' (g (u)) g' (u)$ ，其中 $f (u) = e^{u}$ 且 $g (u) = - u$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- u$ 。

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [- u])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [- u])$

解题步骤 3.3

使用 $- u$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $- u$ 对 $u$ 的导数是 $- \frac{d}{d u} [u]$ 。

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- u}$ 的左侧。

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- 1 \cdot e^{- u})$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1 e^{- u}$ 重写为 $- e^{- u}$ 。

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- e^{- u})$

解题步骤 4.3.4

重新排序项。

$- e^{- u} \sin (u) - e^{- u} \cos (u)$

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