微积分学示例

$(x^{2} - 2 x - 1) (\frac{x + 1}{x + 3})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 且 $g (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x + 3}] + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.4.2

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

解题步骤 3.9

根据加法法则， $x^{2} - 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.13

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + 0)$

解题步骤 3.15

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

解题步骤 4.2.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{0 + 3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

解题步骤 4.2.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

解题步骤 4.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1

将 $x^{2} - 2 x - 1$ 乘以 $\frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{(x^{2} - 2 x - 1) \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 2 x - 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

解题步骤 4.4.3

将 $2 x - 2$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 3}$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 x - 2) (x + 1)}{x + 3}$

解题步骤 4.4.4

从 $2 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.4.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) - 2) (x + 1)}{x + 3}$

解题步骤 4.4.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) + 2 (- 1)) (x + 1)}{x + 3}$

解题步骤 4.4.4.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$

解题步骤 4.5

要将 $\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

解题步骤 4.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(x + 3)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + 3)}$

解题步骤 4.6.2

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

解题步骤 4.6.3

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

解题步骤 4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.7

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8

化简分子。

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解题步骤 4.8.1

从 $2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.8.1.1

从 $2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.1.2

从 $2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + ((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 4.8.2.1

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x (x + 1) - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2.2

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2.3

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

合并 $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.8.3.1

按照 $x \cdot 1$ 和 $- 1 x$ 重新排列因数。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.3.2

从 $1 x$ 中减去 $1 x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.3.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.4

化简每一项。

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解题步骤 4.8.4.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.5

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 1) (x + 3)$ 。

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解题步骤 4.8.5.1

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.5.2

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.5.3

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6

化简每一项。

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解题步骤 4.8.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.8.6.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.8.6.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6.2

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.6.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.7

将 $x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.8

从 $- 2 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x - 1 + x^{3} - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.9

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x + x^{3} - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8.10

重新排序项。

$\frac{2 (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$

微积分学 示例

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