微积分学示例

$(\frac{x}{x - 3}) + \frac{x - 21}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 21}{x^{2} - 3^{2}}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x}{x - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{x}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 3) (x + 3)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x}{x - 3}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{x (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2

重新排序 $(x - 3) (x + 3)$ 的因式。

$\frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{x (x + 3) + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 5.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 5.4

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 4 x - 21}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 5.5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 21$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 21$ ，和为 $4$ 。

$- 3, 7$

解题步骤 5.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 3) (x + 7)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 6

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{(x - 3) (x + 7)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\frac{x + 7}{x + 3}$

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