微积分学示例

$\sin (x^{2}) = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $x^{2}$ 。

$\sin (u) = 0$

解题步骤 2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $u$ 。

$u = \arcsin (0)$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$u = π - 0$

解题步骤 5

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$u = π$

解题步骤 6

求 $\sin (u)$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7

$\sin (u)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$u = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

$u = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

将 $x^{2}$ 代入 $u$ ，并求解 $x^{2} = π n$ 。

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解题步骤 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{π n}$

解题步骤 9.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{π n}$

解题步骤 9.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{π n}$

解题步骤 9.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{π n}, - \sqrt{π n}$

微积分学 示例

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