微积分学示例

$4 \cos^{2} (x) - 9 \cos (x) + 2 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \cos (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (x)$ 。

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ 并且它们的和为 $b = - 9$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- 9 u$ 中分解出因数 $- 9$ 。

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

把 $- 9$ 重写为 $- 1$ 加 $- 8$

$4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(4 u^{2} - 1 u) - 8 u + 2 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $4 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(4 u - 1) (u - 2) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

解题步骤 3

将 $4 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $4 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $4 \cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 \cos (x) = 1$

解题步骤 3.2.2

将 $4 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $4 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

计算 $\arccos (\frac{1}{4})$ 。

$x = 1.31811607$

解题步骤 3.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

解题步骤 3.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

解题步骤 3.2.6.2

化简 $2 (3.14159265) - 1.31811607$ 。

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解题步骤 3.2.6.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

解题步骤 3.2.6.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.31811607$ 。

$x = 4.96506923$

解题步骤 3.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\cos (x) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos (x) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - 2 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\cos (x) = 2$

解题步骤 4.2.2

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $2$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 5

最终解为使 $(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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