微积分学示例

$4 \cdot 8^{x} = 3.5 e^{1 x}$

解题步骤 1

乘以 $4 \cdot 8^{x}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2^{2} \cdot 8^{x} = 3.5 e^{1 x}$

解题步骤 1.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$2^{2} \cdot {(2^{3})}^{x} = 3.5 e^{1 x}$

解题步骤 1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{2} \cdot 2^{3 x} = 3.5 e^{1 x}$

解题步骤 1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{2 + 3 x} = 3.5 e^{1 x}$

解题步骤 2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2^{2 + 3 x} = 3.5 e^{x}$

解题步骤 3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{2 + 3 x}) = \ln (3.5 e^{x})$

解题步骤 4

通过将 $2 + 3 x$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2 + 3 x})$ 。

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5 e^{x})$

解题步骤 5

展开右边。

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解题步骤 5.1

将 $\ln (3.5 e^{x})$ 重写为 $\ln (3.5) + \ln (e^{x})$ 。

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + \ln (e^{x})$

解题步骤 5.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + x \ln (e)$

解题步骤 5.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + x \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + x$

解题步骤 6

化简左边。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$2 \ln (2) + 3 x \ln (2) = \ln (3.5) + x$

解题步骤 7

将 $2 \ln (2)$ 和 $3 x \ln (2)$ 重新排序。

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (3.5) + x$

解题步骤 8

将 $\ln (3.5)$ 和 $x$ 重新排序。

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) = x + \ln (3.5)$

解题步骤 9

将所有包含对数的项移到等式左边。

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) - \ln (3.5) = x$

解题步骤 10

从等式两边同时减去 $x$ 。

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) - \ln (3.5) - x = 0$

解题步骤 11

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 11.1

从等式两边同时减去 $2 \ln (2)$ 。

$3 x \ln (2) - \ln (3.5) - x = - 2 \ln (2)$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $\ln (3.5)$ 。

$3 x \ln (2) - x = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

解题步骤 12

从 $3 x \ln (2) - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 12.1

从 $3 x \ln (2)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 \ln (2)) - x = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

解题步骤 12.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 \ln (2)) + x \cdot - 1 = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

解题步骤 12.3

从 $x (3 \ln (2)) + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 \ln (2) - 1) = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

解题步骤 13

将 $x (3 \ln (2) - 1) = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$ 中的每一项除以 $3 \ln (2) - 1$ 并化简。

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解题步骤 13.1

将 $x (3 \ln (2) - 1) = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$ 中的每一项都除以 $3 \ln (2) - 1$ 。

$\frac{x (3 \ln (2) - 1)}{3 \ln (2) - 1} = \frac{- 2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 13.2

化简左边。

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解题步骤 13.2.1

约去 $3 \ln (2) - 1$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (3 \ln (2) - 1)}{3 \ln (2) - 1} = \frac{- 2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 13.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 13.3

化简右边。

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解题步骤 13.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 13.3.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{- 2 \ln (2) + \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 13.3.3

从 $- 2 \ln (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (2 \ln (2)) + \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 13.3.4

从 $\ln (3.5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - 1 (- \ln (3.5))}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 13.3.5

从 $- (2 \ln (2)) - 1 (- \ln (3.5))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (2 \ln (2) - \ln (3.5))}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 13.3.6

化简表达式。

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解题步骤 13.3.6.1

将 $- (2 \ln (2) - \ln (3.5))$ 重写为 $- 1 (2 \ln (2) - \ln (3.5))$ 。

$x = \frac{- 1 (2 \ln (2) - \ln (3.5))}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 13.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 \ln (2) - \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{2 \ln (2) - \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

小数形式：

$x = - 0.12370414 \dots$

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