微积分学示例

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

解题步骤 1

取方程两边的对数。

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

解题步骤 2

通过将 $1 - 3 x^{2}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ 。

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

解题步骤 3

将 $\ln (\frac{1}{25})$ 重写为 $\ln (1) - \ln (25)$ 。

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

解题步骤 4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

解题步骤 5

将 $\ln (25)$ 重写为 $\ln (5^{2})$ 。

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

解题步骤 6

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{2})$ 。

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

解题步骤 7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

解题步骤 8

从 $0$ 中减去 $2 \ln (5)$ 。

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

解题步骤 9

通过将 $4 x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{4 x})$ 。

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

解题步骤 10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 10.1

化简 $(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ 。

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解题步骤 10.1.1

重写。

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

解题步骤 10.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

解题步骤 10.1.3

运用分配律。

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

解题步骤 10.1.4

化简表达式。

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解题步骤 10.1.4.1

将 $- 2 \ln (5)$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

解题步骤 10.1.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

解题步骤 10.1.4.3

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

解题步骤 10.2

从等式两边同时减去 $4 x \ln (3)$ 。

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

解题步骤 10.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 10.4

将 $a = 6 \ln (5)$ 、 $b = - 4 \ln (3)$ 和 $c = - 2 \ln (5)$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5

化简。

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解题步骤 10.5.1

化简分子。

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解题步骤 10.5.1.1

添加圆括号。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.2

使 $u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ 。

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解题步骤 10.5.1.2.1

对 $- 4 \ln (3)$ 运用乘积法则。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.3

从 $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 10.5.1.3.1

从 $16 \ln^{2} (3)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.3.2

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.3.3

从 $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.4

使用 $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.5

化简每一项。

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解题步骤 10.5.1.5.1

通过指数相加将 $\ln (5)$ 乘以 $\ln (5)$ 。

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解题步骤 10.5.1.5.1.1

移动 $\ln (5)$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.5.1.2

将 $\ln (5)$ 乘以 $\ln (5)$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.5.2

将 $- 2$ 移到 $\ln^{2} (5)$ 的左侧。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.5.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.5.4

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.6

从 $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 10.5.1.6.1

从 $4 \ln^{2} (3)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.6.2

从 $12 \ln^{2} (5)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.6.3

从 $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.8

将 $16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ 。

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解题步骤 10.5.1.8.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.9

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

解题步骤 10.5.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

解题步骤 10.5.3

化简 $\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ 。

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

解题步骤 10.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

小数形式：

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$

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